5.1. – Quadripolo passa-basso
Posto s = jw e dividendo numeratore e denominatore per w o2, si ottiene:
Il cui modulo e fase sono:
I diagrammi di Bode relativi a e della fase, in funzione della frequenza normalizzata e per vari valori di Qo,
sono i seguenti:
Il limite inferiore di Qo è 0,5; il limite superiore può essere teoricamente infinito (in realtà i componenti hanno dei limiti nella risposta in ampiezza).
Il modulo di in
decibel è:
Il diagramma asintotico di Bode (valido per Qo ³ 0,5) è il seguente:
Il primo asintoto è sulle ascisse; il secondo è una retta con pendenza -40dB/decade che incontra il primo asintoto per w /w o = 1.
Confrontando questo grafico con il primo si vede che all'aumentare di Qo la curva reale si avvicina sempre più a quella asintotica fino a superarla per Qo > 1/Ö 2.
Quando risulta Qo = 1/Ö 2, la curva reale è il più possibile piatta e la pulsazione di taglio coincide con w o. Un quadripolo con Qo = 1/Ö 2 = 0,707, viene detto a banda piatta o di Butterworth.
Per Qo > 1/Ö 2, la curva reale presenta, in corrispondenza della pulsazione
,
(5.1.1)
un picco che vale:
Tale picco o ripple che si deduce da dopo aver posto w = w
MAX aumenta all’aumentare di Qo.
Si definisce larghezza S del ripple il rapporto
,
e la lunghezza del canale del ripple (ripple cannel) la
pulsazione w c oltre la quale risulta sicuramente .
La pulsazione w c si determina
imponendo che sia unitario il denominatore di :
(5.1.2)
Finché risulta Qo £ 1, la lunghezza del canale non è superiore a w o (w c/w o £ 1) e la larghezza del ripp,e risulta S £ 1,52dB.
Sostituendo la (5.1.2) nella (5.1.1), si ha: ,
cioè w MAX non dipende dal valore di Qo, ma da w c.
Un quadripolo con Qo > 1/Ö 2 viene anche detto di Chebyshev se il ripple S è compreso tra 0,5dB e 3dB.
Il tabella sono riportati, per diversi valori del ripple, i valori di Qo e di w c/w o.
S |
Qo |
w c/w o LP |
w c/w o HP |
|
dB |
Adim. |
|||
0,5 1 2 3 |
1,06 1,12 1,26 1,41 |
0,86 0,96 1,13 1,31 |
0,80 0,95 1,10 1,31 |
1,25 0,95 1,10 0,84 |
Qualora sia Qo = 1/Ö 3, si può dimostrare che il tempo di ritardo risulta praticamente costante, dell'ordine di 1/w o, fino alla pulsazione wo/Ö 3. In tal caso il quadripolo viene detto di Bessel (o di Thompson).