3.3.4. - Sistemi causali
Il numero di poli di una funzione di rete non può essere inferiore al numero degli zeri; pertanto, nell'equazione (3.2.1.1) risulta n ³ m. Ciò è una conseguenza del fatto che, nei sistemi fisici, l'effetto non può precedere la causa; per questo motivo i sistemi fisici vengono anche chiamati causali, oppure non anticipativi.
Un sistema per il quale la risposta y(t) è legata all'eccitazione x(t) dalla relazione:
è causale; infatti il valore della risposta ad un generico istante è uguale al valore assunto dall'eccitazione in un istante t - 1, precedente a quello considerato. Analogamente, qualora risulti:
,
il sistema è causale perché la risposta dipende dai valori assunti dall'eccitazione fino all'istante t considerato. In ambedue i casi il sistema viene detto con memoria perché la risposta nel generico istante t dipende anche dai valori assunti precedentemente a tale istante (si suppone trascurabile il ritardo introdotto dal sistema).
Un sistema per il quale risulta:
è invece non causale perché la risposta nell'istante t dipende dal valore assunto dall'ingresso in un istante successivo.
Analogamente, qualora risulti:
,
il sistema è non causale: infatti, per poter calcolare la derivata dell'eccitazione x(t) in un certo istante, è necessario conoscere l'andamento dell'eccitazione nell'intorno di tale istante e, quindi, in istanti successivi a quello considerato.
Da questa definizione si deduce, ad esempio, che un induttore
non può essere comandato da un generatore di corrente; dualmente, un condensatore
non può essere comandato da un generatore di tensione.
Poiché alla relazione
nel dominio del tempo corrisponde, nel dominio della trasformata di Laplace e nell'ipotesi di stato zero, quella
,
ne consegue che la funzione di rete di un sistema fisico non può avere uno zero soltanto e nessun polo. Qualora la funzione di rete avesse un numero m di zeri superiore a quello n di poli, essa potrebbe sempre essere espressa come somma di un polinomio di grado m - n, chiamato resto, e di una funzione razionale di tipo proprio. Antitrasformando si otterrebbero, a causa del resto, dei termini contenenti derivate rispetto al tempo dell'eccitazione; pertanto il sistema sarebbe non causale.
