2.4.6. - Teorema della traslazione o dello smorzamento

Si supponga che la trasformata di Laplace della funzione f(t) sia F(s) e si consideri la trasformata di Laplace della funzione , con a reale:

.

Assumendo come variabile complessa s + a , dalla definizione di trasformata di Laplace si deduce:

                                                                                 (2.4.6.1)

Se , poiché , si trae:

                                                                                                                                   (2.4.6.2)

Se , poiché , si trae:

                                                                                                                                   (2.4.6.3)

Si ricava così la trasformata di Laplace della funzione ottenuta come prodotto di una sinusoide con un esponenziale.

È importante osservare che, essendo a reale, le radici dei polinomi al denominatore delle equazioni (2.4.6.2) e (2.4.6.3) e, quindi, i poli delle due funzioni della variabile s sono complessi coniugati e valgono -a ± jw . Se a > 0 i due poli si trovano nel semipiano sinistro e la corrispondente funzione del tempo è esponenzialmente decrescente.