6.2. - Principi di Kirchhoff

Per i due principi di Kirchhoff deve essere uguale a zero la somma delle correnti confluenti in un nodo (KLC):

                                                                                                                                        (6.2.1)

e delle tensioni in ogni maglia (KVL):

                                                                                                                                       (6.2.2)

Nell'ipotesi di regime sinusoidale si può associare a ciascuna delle correnti confluenti nel nodo ed a ciascuna delle tensioni della maglia un numero complesso rappresentato in forma esponenziale. Supponendo, ad esempio, che la corrispondenza tra numero complesso e grandezza elettrica si riferisca alla parte reale, l'equazione (&.2.1) può essere così riscritta:

                                                                               ,                                                (6.2.3)

dove è il fasore associato a i_k. Affinché sia uguale a zero, qualsiasi sia l'istante considerato, la somma delle parti reali di un certo numero di vettori che ruotano con la stessa velocità angolare w , deve essere uguale a zero anche la somma dei vettori. Se, infatti, in un certo istante fosse uguale a zero la somma delle parti reali di un certo numero di vettori rotanti con la stessa velocità angolare, nell'istante a cui corrisponde uno sfasamento di 90° (dopo t = T/4) di ciascun vettore sarebbe diversa da zero la somma delle parti reali e uguale a zero quella delle parti immaginarie. Dall'equazione (6.2.3) pertanto si trae:

                                                                                   .                                                   (6.2.4)

Poiché è un vettore di modulo unitario che ruota con velocità angolare w , esso è sempre diverso da zero qualsiasi sia l'istante che si considera, segue:

                                                                                      .                                                     (6.2.5)

Si può pertanto concludere che, in regime sinusoidale, deve risultare uguale a zero la somma dei fasori associati a ciascuna delle correnti confluenti in un nodo.

In modo del tutto analogo si può dimostrare che, in regime sinusoidale, deve essere nulla la somma dei fasori associati alle tensioni di una maglia del circuito. Si può pertanto scrivere:

                                                                                      ,                                                     (6.2.6)

dove è il fasore associato a v_i. si osservi che, in ambedue le relazioni così ricavate [equazione (6.2.5) e (6.2.6)], non compare più la variabile tempo.

Nell'ipotesi che il segnale sia un esponenziale periodico, dalle equazioni (6.2.1) e (6.2.2) si deducono immediatamente le equazioni (6.2.5) e (6.2.6). Si può quindi concludere che le leggi di Kirchhoff possono essere espresse mediante le relazioni ora ricavate (6.2.5) e (6.2.6) anche quando il segnale è un esponenziale periodico ed il circuito è a regime.