6.3. - Elementi di circuito

Dalle equazioni che definiscono R, L e C di un circuito lineare tempo invariante si deducono facilmente le corrispondenti relazioni del metodo simbolico.

Supponendo, ad esempio, che la tensione v(t) ai capi di una resistenza e la corrente i(t) che la percorre siano uguali alle parti reali dei numeri complessi e , dove V e I sono i fasori associati a v(t) e a i(t), la relazione

può essere così riscritta:

.

Affinché le parti reali di due vettori rotanti risultino, indipendentemente dall'istante che si considera, tra loro proporzionali è necessario che lo siano anche i due vettori e, quindi, i due fasori; segue:

                                                                                       .                                                    (6.3.1)

In un resistore esiste pertanto una relazione di proporzionalità tra i due fasori V e I.

Per determinare le analoghe relazioni per i condensatori e gli induttori è sufficiente ricordare che, la derivata della parte reale di un numero complesso è uguale alla parte reale della derivata del numero complesso:

                                                                                       (6.3.2)

e che tale derivata si può così esprimere:

                                                                      .                                    (6.3.3)

Dalla relazione temporale tra la tensione v(t) ai capi di un condensatore e la corrente i(t) che lo percorre , si deduce pertanto che:

                                                                                       ,                                                  (6.3.4)

dove V e I sono i fasori associati a v(t) e i(t). si osservi che, a differenza di quanto accade per il resistore, I e V risultano ora in quadratura tra loro e che il rapporto dei loro moduli è funzione della pulsazione angolare ).

Analogamente, dalla relazione temporale tra tensione v(t) e corrente i(t) in un induttore, , si deduce:

                                                                                        ,                                                  (6.3.5)

dove I e V sono i fasori associati a v(t) e i(t). Precedentemente si è visto che, in un condensatore, la corrente è in quadratura in anticipo rispetto alla tensione; in un induttore, invece, è la tensione che è in quadratura in anticipo rispetto alla corrente.

Indicando genericamente con il rapporto tra i fasori associati alla tensione v(t) e alla corrente i(t) in uno stesso ramo, le tre relazioni trovate possono essere così sintetizzate:

                                                                                      ,                                               (6.3.6)

dove viene chiamata impedenza ed è, in generale, funzione della frequenza. L'inverso dell'impedenza è l'ammettenza e si indica con . Si osservi che, utilizzando il metodo simbolico, la variabile indipendente diventa la pulsazione w (ovvero la frequenza f), mentre nelle relazioni iniziali essa era il tempo. Per mettere in evidenza questo fatto si dice che il metodo simbolico trasferisce lo studio dei circuiti dal dominio del tempo a quello della frequenza.

Dalle tre relazioni che definiscono gli elementi R, L e C nel dominio della frequenza si deduce che essi possono essere rappresentati, in tale dominio, come in figura, dove si è scritto a fianco di ciascun elemento il valore della sua impedenza dopo aver posto .

Poiché la relazione tra la tensione e la corrente è formalmente identica nei tre casi ed è analoga alla relazione tra i valori istantanei della tensione e della corrente in una resistenza, ne segue che le espressioni dei teoremi ricavati per le reti puramente resistive valgono anche per una rete qualsiasi in regime sinusoidale purché ad ogni elemento si sostituisca la relativa impedenza e ad ogni grandezza elettrica il relativo fasore.

Le considerazioni svolte valgono ovviamente anche quando il segnale è un esponenziale periodico ed il circuito è a regime.